Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 1826, numa aldeia de Hanover, filho de um pastor luterano. Suas maneiras sempre foram tímidas e sua saúde sempre foi frágil.
A despeito de suas modestas posses, o pai de Riemann conseguiu dar-lhe uma boa educação, primeiro na universidade de Berlim e depois na de Göttingen. Obteve seu doutorado nessa última instituição com uma brilhante tese no campo da teoria das funções de variáveis complexas. Nessa tese encontram-se as chamadas equações diferencias de Cauchy-Riemann. A tese levava também ao conceito de superfície de Riemann, antecipado o papel que a topologia viria a desempenhar na análise.
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade pela definição do que chamamos agora de integral de Riemann, abrindo caminho, no século XX, para o conceito mais geral de integral de Lebesgue e daí, para generalizações ulteriores da integral.
Em 1854 Riemann tornou-se Privatdocent (professor oficial sem remuneração) de Göttingene para esse privilégio apresentou famosa conferência probatória sobres às hipóteses em que se baseiam os fundamentos da geometria. De todos os artigos comparáveis a esse em tamanho, nenhum se mostrou mais rico em implicações em toda a história da matemática; a tese tinha o título “Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen” (Sobre as hipóteses que estão nele se apresenta uma generalização ampla de espaço e geometria), mas não apresentava exemplo específico. Propunha em vez disso uma visão global da geometria como um estudo das variedades de qualquer número de dimensões em qualquer tipo de espaço. Suas geometrias eram não-euclidianas num sentido muito mais geral do que a de Lobachesvky, em que a questão é simplesmente a de quantas paralelas são possíveis por um ponto. Riemann viu que a geometria nem se quer deveria necessariamente tratar de pontos ou retas ou do espaço no sentido ordinário, mas de coleções de n-uplas que são combinadas segundo certas regras. O ponto de partida de Riemann foi à fórmula da distância entre dois pontos infinitesimalmente próximos. Na geometria euclidiana essa métrica é dada por
Riemann salientou que se podem usar muitas outras fórmulas de distâncias, sendo as propriedades de espaço e da geometria resultantes determinadas pela métrica escolhida. Um espaço com uma métrica da forma
onde os g são constantes ou funções de x,y e z, é conhecido agora como espaço de Riemann e a geometria desse espaço como geometria riemanniana. O espaço euclidiano é o caso bastante particular em que 
e os outros g são nulos. Mas tarde, Albert Einstein e outros iriam encontrar no conceito amplo de espaço de Riemann o contexto necessário para a teoria da relatividade. Riemann inclusive desenvolveu a partir da métrica uma formula para a curvatura gaussiana de uma “superfície” em seu “espaço”. Não é de espantar que depois da conferencia de Riemann, e quase pela única vez em sua longa carreira, Gauss tenha manifestado entusiasmo pela obra de outra pessoa.
e os outros g são nulos. Mas tarde, Albert Einstein e outros iriam encontrar no conceito amplo de espaço de Riemann o contexto necessário para a teoria da relatividade. Riemann inclusive desenvolveu a partir da métrica uma formula para a curvatura gaussiana de uma “superfície” em seu “espaço”. Não é de espantar que depois da conferencia de Riemann, e quase pela única vez em sua longa carreira, Gauss tenha manifestado entusiasmo pela obra de outra pessoa.Há também um sentido mais restrito que usamos hoje a frase geometria riemanniana: a geometria plana que se deduz da hipótese de Saccheri do ângulo obtuso se se abandona também a hipótese da infinitude da reta. Um modelo para essa geometria se encontra na interpretação do “plano” com a superfície de uma esfera e de uma “reta” como um circulo máximo sobre a esfera. Nesse caso a soma dos ângulos de um triângulo é maior que dois retos, ao passo que na geometria de Lobachevsky e Bolyai (correspondendo à hipótese do ângulo agudo) a soma dos ângulos é menor que dois retos. Esse uso do nome do Riemann, no entanto, não faz justiça à mudança fundamental nas concepções geométricas que sua Habilitationschrift de 1854 (publicada em 1867) acarretou. Foi a sugestão de Riemann do estudo geral de espaços métricos com curvatura e não o caso especial da geometria sobre a esfera, que mais tarde tornou possível a teoria geral da relatividade. O próprio Riemann contribuiu grandemente para a física teórica em muitas direções; ele foi o primeiro, por exemplo, a dar um tratamento matemático às ondas de choque. Assim foi apropriado que em 1859 ele fosse nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira que Gauss ocupara.Mas em 1866, com apenas quarenta anos de idade, morreu vítima de tuberculose no norte da Itália, para onde havia ido à procura de melhoras para sua saúde.
INTEGRAIS DE RIEMANN
- Uma função f, contínua, em um intervalo [a,b] com a menor, ou igual a b
Dividindo a área azul em faixas retângulares, e escolhendos pontos amostrais x*, a somatória dessas áreas será a área resultande da região azul da Figura 2.
BIBLIOGRAFIA
- BOYER, Carl B. História da Matemática Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo, SP: Edgard Blücher LTDA, 1996
- EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1997
- O’CONNOR, J J. ; ROBERTSON, E F. Georg Friedrich Bernhard Riemann: biografias
Apresenta textos sobre a vida e obra de matemáticos. Disponível em:
<http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Riemann.html>. Acesso em 21 nov. 2009. - STEWART, J. Cálculo. Volume 1.
Vários tradutores. 5. ed. São Paulo, SP: Thomson, 2006
.JPG)